如何因式分解多项式：技术和实例

La 因式分解代数表达式 这是将所述表达式写成更简单因子的乘法的过程。换句话说， 因式分解多项式时，目标是找到相乘时产生相同原点代数表达式的项。

这个过程在代数中至关重要，因为它可以简化方程并使其更易于管理。此外，分解多项式时最重要的目标之一是将其表示为 其他低次多项式的乘积.

为了更好地理解这个概念，让我们考虑一个基本示例：

代数表达式： x(x+y)

通过将该表达式的各项相乘，我们得到：

x² +xy

通过这种方式： x(x + y) = x² +xy

La 保理 它很有用，不仅因为它简化了问题解决，还因为它允许您识别代数表达式项之间的属性和关系。

共同因素

在开始使用因式分解技术之前，有必要了解该术语的含义。 公约数。通过搜索多项式中的公因子，我们的目标是识别在表达式的所有项中重复的项，从而使我们能够简化它。

然而，值得注意的是，保理并不总是可行的。为了进行因式分解，必须至少有一个通用术语可以使用。否则无法进一步简化。

例如，在表达式中：

xa + yb + zc

没有任何 公约数 项之间，因此无法进行因式分解。

我们再看另外一个可行的情况：

a²x + 一个²y

这里的共同因素是 a²。为简单起见，我们将这两项除以这个公因数：

• a²x 除以²，这给出了 x
• a²y 除以²，它给出了什么以及

最后，因式分解的表达式为：

a²(x+y)

在多项式因式分解中使用公因式

在许多情况下，多项式的某些项将具有 公约数，而其他人则没有。在这些情况下，应该做的是 术语分组，以便分组的项共享一个公共因子。

例如，在表达式中：

xa + ya + xb + yb

我们可以用不同的方式对术语进行分组：

(xa + ya) + (xb + yb)

如果我们分析分组的术语，我们可以观察到每组中的一个共同因素：

a(x + y) + b(x + y)

最后，我们可以将表达式因式分解如下：

(x + y)(a + b)

这种技术称为“分组因式分解”，即使并非所有项都具有相同的公因数，也可以让您简化多项式。需要注意的是，分组的方式不只一种，而且结果总是相同的。例如，在同一情况下，我们可以将术语分组如下：

(xa + xb) + (ya + yb)

这再次导致：

x(a + b) + y(a + b)

最后，我们得到相同的结果：

(a + b)(x + y)

这个过程得到交换律的支持，交换律规定因素的顺序不会改变最终的产品。

高级方法：使用著名产品进行保理

还有其他方法可以对多项式进行因式分解，其中 卓越的产品。最常见的著名产品是 完全平方三项式 和 x 形式的三项式² + bx + c。还有其他值得注意的产品，但它们往往更多地应用于二项式。

完美平方三项式

Un 完全平方三项式 它是由三项组成的多项式，是二项式平方的结果。该规则规定该过程遵循以下结构： 第一项的平方，加上第一项的两倍乘以第二项，加上第二项的平方.

要因式分解完全平方三项式，我们遵循以下步骤：

• 我们提取第一项和第三项的平方根。
• 我们用与第二项相对应的符号将根分开。
• 我们对所形成的二项式进行平方。

我们来看一个例子：

4a² – 12ab + 9b²

• 4a 的平方根²：2a
• 9b 的平方根²：3磅

三项式因式分解为：

（2a – 3b）²

x 形式的三项式² + bx + c

这种类型的三项式具有特定的特征，使其更容易因式分解。要使这种形式的三项式可因式分解，它必须满足以下条件：

• 第一项的系数必须为 1。
• 第一项必须是平方变量。
• 第二项具有相同的变量，但不是平方（它的指数为 1）。
• 第二项的系数可以是正数，也可以是负数。
• 第三项是与前一项没有直接关系的数字。

此因式分解的一个示例是以下三项式：

x² + 9倍+ 14

要分解它，请遵循以下过程：

• 我们将三项式分解为两个二项式。
• 每个二项式的第一项是三项式第一项（在本例中为“x”）的平方根。
• 二项式的符号根据三项式的第二个和第三个量（在本例中为正）分配。
• 我们正在寻找两个数字，相乘时为 14，相加时为 9（选项为 7 和 2）。

这样，因式分解的三项式为：

(x+7)(x+2)

附加方法：因子定理和鲁菲尼规则

El 因子定理 指出多项式可被 (x – a) 形式的多项式整除，如果计算 x = a 的原始多项式，结果为 0。该定理对于求多项式的根很有用，并使因式分解变得更容易。它经常与以下组合使用 鲁菲尼法则，一种执行多项式除法的简化方法。

这些工具在处理 3 次或更高次数的多项式时特别有用，因为在这种情况下无法应用完美平方三项式或显着乘积等简单方法。

最后，需要注意的是，并非所有多项式都可以轻松分解。在某些情况下，有必要采用更先进的方法或数值技术来找到多项式的根。然而，基本代数中的大多数例子都可以使用这些工具来解决。

因式分解是代数中的一个强大工具，因为它可以让您简化复杂的表达式并更有效地求解方程。通过掌握多项式因式分解的不同方法，我们可以更快、更有效地解决各种问题。